Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

Table of Contents
Geometrische Summenformel Geometrische Reihe Fall Fall Zusammenfassung Beispielaufgaben Beispielaufgabe 1 Beispielaufgabe 2 Beispielaufgabe 3 Beispielaufgabe 4
  • ↳ Projekt „Mathe für Nicht-Freaks“
  • ↳ Analysis 1

    Inhalte „Analysis 1“

    • Was ist Analysis?Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2)
    • Was sind reelle Zahlen?Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (3)
    • KörperaxiomeGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (4)
    • AnordnungsaxiomeGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (5)
    • Vollständigkeit reeller ZahlenGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (6)
    • Die komplexen ZahlenGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (7)
    • Supremum und InfimumGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (8)
    • Wurzel reeller ZahlenGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (9)
    • FolgenGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (10)
    • Konvergenz und DivergenzGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (11)
    • Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-FolgenGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (12)
    • ReihenGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (13)
      • Begriff der ReiheGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (14)
      • Rechenregeln für ReihenGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (15)
      • Teleskopsumme und TeleskopreiheGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (16)
      • Geometrische ReiheGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (17)
      • Harmonische ReiheGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (18)
      • e-ReiheGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (19)
      • Absolute Konvergenz einer ReiheGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (20)
      • Umordnungssatz für ReihenGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (21)
      • Cauchy-Produkt für ReihenGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (22)
      • Aufgaben
    • Konvergenzkriterien für ReihenGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (23)
    • PotenzreihenGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (24)
    • Exponential- und LogarithmusfunktionGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (25)
    • Trigonometrische und Hyperbolische FunktionenGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (26)
    • StetigkeitGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (27)
    • AbleitungGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (28)
    • IntegraleGeometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (29)

Die geometrische Reihe hat die Form Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (30). Sie ist eine wichtige Reihe, die dir häufig in Beweisen und Herleitungen begegnen wird. Außerdem kann man mit der geometrischen Reihe Konvergenzkriterien wie das Quotienten- oder das Wurzelkriterium beweisen.

Geometrische Summenformel

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Wir wiederholen die geometrische Summenformel. Mit dieser Formel können wir die Partialsummen der geometrischen Reihe explizit ausrechnen. Wenn du mehr über die geometrische Summenformel wissen möchtest, dann schau im Kapitel „Geometrische Summenformel“ vorbei. Dort findest du auch einen Beweis der geometrischen Summenformel mit vollständiger Induktion. Beweisen wir nun die geometrische Summenformel:

Satz(Geometrische Summenformel)

Für alle reellen Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (31) und für alle Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (32) ist:

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (33)

Beweis(Geometrische Summenformel)

Es ist

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (34)

Geometrische Reihe

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Wir betrachten zwei Fälle: Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (40).

Fall Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (41)

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Kommen wir zur geometrischen Reihe Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (42). Wir betrachten zunächst den Fall Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (43) und damit Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (44), da wir nur in diesem Fall die geometrische Summenformel anwenden können. Mit dieser Formel können wir die Partialsumme explizit berechnen. Wir erhalten:

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (45)

Die geometrische Reihe konvergiert also genau dann, wenn die Folge Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (46) konvergiert. Dies ist genau dann der Fall, wenn Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (47) eine konvergente Folge ist. Nun wissen wir, dass Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (48) gegen Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (49) konvergiert, wenn Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (50) ist, und gegen Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (51) konvergiert, wenn Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (52) ist. Den Fall Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (53) haben wir in diesem Abschnitt aber ausgeschlossen. Damit erhalten wir zunächst:

Wenn Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (54) ist, dann konvergiert die geometrische Reihe Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (55).

Berechnen wir nun den Grenzwert der geometrischen Reihe für Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (56):

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (57)

Alternativ lässt sich die Konvergenz der geometrischen Reihe für Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (58) auch direkt mit der Definition beweisen.

Aufgabe(Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe)

Zeige, dass die geometrische Reihe Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (59) für Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (60) gegen Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (61) konvergiert.

Wie kommt man auf den Beweis?(Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe)

Wir müssen zeigen, dass es zu jedem Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (62) ein Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (63) gibt, so dass

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (64) für alle Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (65)

Mit der geometrischen Summenformel gilt nun

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (66)

Da die geometrische Folge Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (67) für Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (68) gegen Null konvergiert, gilt dies auch für Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (69). Also gibt es zu jedem Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (70) ein Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (71) mit

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (72) für alle Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (73)

Weil Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (74) konstant ist, gibt es auch ein Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (75) mit

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (76) für alle Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (77)

Damit folgt die Behauptung.

Beweis(Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe)

Sei Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (78) gegeben. Die geometrische Folge Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (79) konvergiert für Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (80) gegen null. Wegen Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (81) gibt es für Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (82) ein Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (83) mit

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (84) für alle Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (85)

Mit der geometrischen Summenformel folgt dann für alle Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (86)

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (87)

Somit folgt für den Grenzwert der Reihe: Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (88).

Fall Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (89)

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Bei Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (90) gilt für alle Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (91), dass Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (92). Also ist die Folge Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (93) keine Nullfolge. Damit divergiert die Reihe Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (94) nach dem sogenannten Trivialkriterium, das wir später noch genauer betrachten.

See Also
Wärmetauscher Berechnungsformeln für die AuslegungDifference Between K And Q

Um die Divergenz zu veranschaulichen, betrachten wir den Fall für ein positives Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (95), also Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (96). So folgt für alle Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (97). Damit können wir die Partialsummen abschätzen:Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (98) Also ist die Folge der Partialsummen durch die Folge Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (99) nach unten beschränkt. Da Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (100) divergiert, divergiert auch die Reihe Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (101) als Folge der Partialsummen.

Zusammenfassung

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Fassen wir das bereits Bewiesene zusammen: Für Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (102), Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (103) und Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (104) divergiert die geometrische Reihe. Diese drei Fälle können wir in der Bedingung Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (105) zusammenfassen. Für den Fall Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (106) konvergiert die geometrische Reihe und hat als Grenzwert Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (107):

Satz(Geometrische Reihe)

Die geometrische Reihe Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (108) konvergiert genau dann, wenn Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (109) ist. Sie hat dann den Wert Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (110):

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (111)

Beispiel(Geometrische Reihe)

Für Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (112), Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (113) und Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (114) gilt

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (115)

Beispielaufgaben

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Beispielaufgabe 1

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Aufgabe(Beispiele geometrischer Reihen)

Berechne die Grenzwerte folgender Reihen:

  1. Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (116)
  2. Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (117)
  3. Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (118)
  4. Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (119)
  5. Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (120)

Lösung(Beispiele geometrischer Reihen)

Lösung Teilaufgabe 1:

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (121)

Lösung Teilaufgabe 2:

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (122)

Lösung Teilaufgabe 3:

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (123)

Lösung Teilaufgabe 4:

Man beachte, dass diese Reihe bei 1 und nicht bei 0 beginnt! Dementsprechend müssen wir die Reihe zuerst umformen, bevor wir die obige Formel anwenden können:

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (126)

Lösung Teilaufgabe 5:

Bei dieser Reihe führen wir zunächst eine Indexverschiebung durch und formen anschließend um:

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (127)

Hinweis

Eine ähnliche Aufgabe befindet sich im Aufgabenteil am Ende des Kapitels.

Beispielaufgabe 2

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Aufgabe(Sonderfälle geometrischer Reihen)

Seien Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (128) mit Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (129) und Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (130). Finde Formeln für die geometrischen Reihen

  1. Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (131) und Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (132)
  2. Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (133) und Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (134)
  3. Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (135) und Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (136)

Lösung(Sonderfälle geometrischer Reihen)

Lösung Teilaufgabe 1:

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (137)

und

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (138)

Lösung Teilaufgabe 2:

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (139)

und

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (140)

Lösung Teilaufgabe 3:

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (141)

und

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (142)

Beispielaufgabe 3

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Aufgabe(Verschiebung des Startindex in geometrischer Reihe)

Sei Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (143) mit Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (144). Bestimme eine Formel für jede der folgenden drei Reihen

  1. Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (145)
  2. Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (146)
  3. Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (147) für Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (148)

Lösung(Verschiebung des Startindex in geometrischer Reihe)

Lösung Teilaufgabe 1:

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (149)

Lösung Teilaufgabe 2:

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (150)

Lösung Teilaufgabe 3:

Für Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (151) und Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (152) gilt

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (153)

Beispielaufgabe 4

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Aufgabe(Reihen, die mit der geometrischen Reihe verwandt sind)

Löse folgende drei Aufgaben:

  1. Zeige für alle reellen Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (154) und Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (155) die Gleichung Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (156).
  2. Zeige für alle Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (157) mit Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (158) die Gleichung Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (159).
  3. Berechne die Reihen Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (160) und Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (161).

Lösung(Reihen, die mit der geometrischen Reihe verwandt sind)

Lösung Teilaufgabe 1:

Die Aussage ist für alle Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (162) und Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (163) äquivalent zu

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (164)

Die linke Seite lässt sich nun wie folgt in die rechte umrechnen:

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (165)

Lösung Teilaufgabe 2:

Im Kapitel Beispiele von Grenzwerten hatten wir Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (166) für Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (167) gezeigt. Aus den Grenzwertregeln folgt damit Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (168) und Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (169). Daher ist

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (170)

Lösung Teilaufgabe 3:

Mit der Formel aus Teilaufgabe 2 ergibt sich mit Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (171):

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (172)

Weiter gilt mit Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (173):

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (174)

Lösung(Reihen, die mit der geometrischen Reihe verwandt sind, Alternative für Teilaufgabe 1)

Die zu zeigende Gleichung können wir direkt rekonstruieren, indem wir wie beim Beweis der geometrischen Summelformel vorgehen: Es gilt

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (175)

Indem wir beide Seiten mit Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (176) multiplizieren, erhalten wir

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (177)

Nun können wir die beiden Gleichungen voneinander subtrahieren

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (178)

Jetzt klammern wir auf der linken Seite Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (179) aus.

Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (180)

Lösung(Reihen, die mit der geometrischen Reihe verwandt sind, Alternative für Teilaufgabe 3)

Wir rechnen:

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Hinweis

Genau wie in Teilaufgabe 3 lässt sich allgemein für Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (182) zeigen:

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Harmonische Reihe →

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Author: Van Hayes

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Author information

Name: Van Hayes

Birthday: 1994-06-07

Address: 2004 Kling Rapid, New Destiny, MT 64658-2367

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Job: National Farming Director

Hobby: Reading, Polo, Genealogy, amateur radio, Scouting, Stand-up comedy, Cryptography

Introduction: My name is Van Hayes, I am a thankful, friendly, smiling, calm, powerful, fine, enthusiastic person who loves writing and wants to share my knowledge and understanding with you.